数据结构：数组—特殊矩阵的压缩存储

数组

概念

• 数组：按一定格式排列起来的，具有相同类型的数据元素的集合。
• 线性表结构是数组结构的一个特例， 而数组结构又是线性表结构的扩展。
• 数组特点：结构固定。定义后，维数和维界不再改变。
• 基本操作：除了结构的初始化和销毁之外， 只有取元素和修改元素值的操作，不做插入和删除的操作。
• 数组中数据元素具有相同的数据类型。
• 数组中的每个数据元素都有对应的下标。
• 数组是一种随机存储结构，可随机存取数组中的任意数据元素。
• 注意：数组可以是多维的，但存储数据元素的内存单元地址是一维的，因此，在存储数组结构之前，需要解决将多维关系映射到一维关系的问题。  

一维数组

• 一维数组：若线性表中的数据元素为非结构的简单元素， 则称为一维数组。
• 一维数组的逻辑结构：线性结构。定长的线性表。
• 声明格式： 数据类型 变量名称[长度]；（C语言格式）
  •  int array[5] = {0, 1, 2, 3, 4};
• 声明格式： 数据类型[] 变量名称；（Java格式）
  • int[] array = {1, 2, 3, 4}; //静态
  • int[] array = new int[4]; //动态

二维数组

• 二维数组：若一维数组中的数据元素又是一维数组结构，则称为二维数组。
• 二维数组主要有两种存储方式：按行优先存放（以行为主序），按列优先存放（以列为主序）
• 二维数组的逻辑结构
  •  非线性结构：每一个数据元素既在一个行表中，又在一个列表中。
  • 线性结构（定长的线性表）：该线性表的每个数据元素也是一个定长的线性表。
• 声明格式： 数据类型 变量名称[行数][列数]；（C语言格式）
  •   int array[5][5];
•  声明格式： 数据类型[][] 变量名称；（Java格式）

  • int[][] array = {{1, 1, 1}, {2, 3, 4, 5}, {0, 0, 0, 0}};

 基本操作

特殊矩阵的压缩存储 

概念

• 特殊矩阵：一个矩阵内的元素（非零元素：1,2,3... 或 零元素：0）的分布有着一定的规律。在高阶矩阵的情况下，可以利用特殊矩阵的分布规律对它们进行压缩存储，已达到提高存储空间的效率。
• 压缩存储：若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的存储空间，零元素不占用存储空间。
• 对称矩阵，对角矩阵，稀疏矩阵，三角矩阵都是特殊矩阵的主要形式，都是方阵，并且行列数都相同。

对称矩阵

• 如何辨别什么是对称矩阵？
  • 在一个行列数相同n阶方阵（A[n][n]）中元素a满足下标i,j = j,i（i >= 0, j <= n - 1）的情况，那么这样的一个n阶方阵就叫对称矩阵。
• 存储方法：只存储下（或者上）三角（包括主对角线）的 数据元素。共占用n(n + 1) / 2个元素空间，如果以行序为主序，则元素下标为a[n(n + 1) / 2]。 

 三角矩阵

• 上三角矩阵：指矩阵下三角部分中的元素均为常数c的n阶方阵。
• 下三角矩阵：指矩阵上三角部分中的元素均为常数c的n阶方阵。

• 存储方法：重复元素c共享一个元素存储空间，共占用n (n + 1) / 2 + 1个元素 空间：s[1...n (n + 1) / 2 + 1] 

对角矩阵 

• 若一个n阶方阵A满足其所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，则称其为n阶对角矩阵。 

稀疏矩阵

• 矩阵m * n中非零元素t的个数较少（一般小于5%）,t / m * n <= 0.05，则称为稀疏矩阵
• 稀疏矩阵的分布没有规律，具有随机性
• 稀疏矩阵的表示方法：三元组，十字链表
• 三元组顺序表：又称有序的双下标法。存储稀疏矩阵中的非零元素的行，列，值，一般存储在第二行依次往下，第一行存储的是矩阵的行，列，非零元素的个数
  • 优点：非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。
  • 缺点：不能随机存取。若按行号存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。

• 十字链表的优点：它能够灵活地插入因运算而产生的新的非零元素， 删除因运算而产生的新的零元素，实现矩阵的各种运算。
• 在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示， 该结点除了（row，col，value)以外，还要有两个域：
  •  right：用于链接同一行中的下一个非零元素
  • down：用于链接同一列中的下一个非零元素